复合函数求导-复合函数求导

一 : 复合函数求导

1.2.3复合函数求导

我们今后可以直接使用的基本初等函数的导数 公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即: f ( x) ? g ( x) ? ? f ?( x) ? g ?( x)

?

?

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即: ? f ( x) ? g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即: ? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5

y? ? 0
4
-2

(2) y= x
(3) y= x

?2 y? ? ?2 x ? 3 x
?3

y? ? 4 x

3

x (4) y= 2

y? ? 2 ln 2
x

(5) y=log3x y? ?

1 x ln 3

练习2、求下列函数的导数。
1、y=5 2、y=xn 3、y=sinx 4、y=cosx 5、y=ax 6、y=ex 7、y=logax 8、y=lnx 9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x 11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx

思考?如何求函数

y ? ln ?x ? 2?

的导函数:

复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),

如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称
这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,

记作y=f(g(x)).

如下函数由多少个函数复合而成:

1. y ? sin 2 x 2 2. y ? ? 2 x ?1 2 3. y ? (sin 2 x ? 1) 4. y ? ln ? x ? 2?

复合函数y ? f ( g ( x))的导数和函数 y ? f (u ), u ? g ( x)的导数间的关系为 yx ' ? yu '?u x '

例4 求下列函数的导数

(1) y ? (2 x ? 3)

2

解: (1)函数y ? (2 x ? 3)2 可以看作函数y ? u 2和 u ? 2 x ? 3的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (u )'?(2 x ? 3)'
2

? 4u ? 8 x ? 12

(2) y ? e
解: (1)函数y ? e

?0.05 x?1

?0.05 x ?1

可以看作函数y ? e 和
u

u ? ?0.05 x ? 1的复合函数。根据复合函数求导法则有

yx ' ? yu '?u x ' ? (e )'?(?0.05 x ? 1)'
u

? ?0.05e ? ?0.05e

u ?0.05 x ?1

(3) y ? sin( ?x ? ? )(其中?,?均为常数)
解: (1)函数y ? sin( ?x ? ? )可以看作函数y ? sin u和 u ? ?x ? ?的复合函数。根据复合函数求导法则有

y x ' ? yu '?u x ' ? (sin u )'?(?x ? ? )' ? ? cos u ? ? cos(?x ? ?

)

小结: 复合函数y=f(x)要先分解成基本 初等函数y=g(u), u=h(v), v=i(x) 等, 再求导:y’x=y’uu’vv’ x 根据函数式结构或变形灵活选择 基本初等函数求导公式或复合函数求 导方法
作业本:“基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则”

例5.某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零? 解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0,解得: t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在 始点. (2) ? s?(t ) ? t 3 ? 12t 2 ? 32t , 令s?(t ) ? 0, 即t3-12t2+32t=0, 解得:t1=0,t2=4,t3=8, 故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.

1 4 t 4

1 练习:已知曲线 y ? x 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 1 ?3 ?4 ? ? ? 解:y ? 3 , y ? ( 3 ) ? ( x ) ? ?3 x ; x x ?曲线在 P (1,1)处的切线的斜率为 k ? y? | x ?1 ? ?3,
从而切线方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1),即3 x ? y ? 4 ? 0.
设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? (?4) | 32 ? 1 ? 10 ?| b ? 4 |? 10,? b ? 6或b ? ?14;

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.

例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均 相切,求l的方程.

解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).
对于S1 , y? ? 2 x, 则与S1相切于P点的切线方程为y-x12 =2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.① 对于S2 , y? ? ?2( x ? 2), 与S2相切于Q点的切线方程为y+ (x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②
?2 x1 ? ?2( x2 ? 2) ? x1 ? 0 ? x1 ? 2 ?? 或? . 因为两切线重合, ? ? 2 2 ? ? x1 ? x2 ? 4 ? x2 ? 2 ? x2 ? 0

若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.

所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.


二 : 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

函数求导 复合函数求导

三 : 简单复合函数的求导法则

简单复合函数的 求导法则

13:32:45

知识回顾

1、导数公式表
函数 导函数

y = c(c是常数)
y = xα (α为实数)
y = a x (a > 0, a ≠ 1)

y′ = 0
y ′ = α x α ?1
y′ = a x ln a

y=e

x

y′ = e x
y′ = 1 x ln a 1 y′ = x

y = log a x (a > 0, a ≠ 1)

y = ln x
y = sin x

Title

y′ = cos x
y′ = ? sin x
y′ = 1 cos 2 x
1 sin 2 x
13:32:45

y = cos x

y = tan x
y = cot x

y′ = ?

2.导数的四则运算法则: 设函数 u(x)、v(x) 是 x 的可导函数,则

1)
2)

(u ( x) ± v( x)) ' = u '( x) ± v '( x)
(u ( x) ? v( x)) ' = u '( x)v( x) + u ( x)v '( x)

推论:[c· f(x)]’ = c f’(x)
3) ′ ? u ( x) ? u '( x)v( x) ? u ( x)v '( x) ? ? = v( x) ? v 2 ( x) ?
13:32:45

课前练习:
1 1 1. y = x( x + + 2 ), 求y '; x x x x 2. y = x ? sin cos , 求y '; 2 2
2

1 y ' = 2x + 2 x
2

1 y ' = 1 ? cos x 2

3. y = x cos(? x), 求y ';
1 4. y = , 求 y '; sin x

y' =

x cos x ? x sin x 2x
cos x sin 2 x

y'= ?

13:32:45

二、讲授新课:
1.复合函数的概念:

对 于 函 数 y = f (? ( x )), 令 u = ? ( x ), 若 y = f ( u ) 是 中 间 变 量 u的 函 数 , u = ? ( x ) 是 自 变 量 x的 函 数 , 则 称 y = f (? ( x )) 是 自 变 量 x 的 复 合 函 数 .

13:32:45

练习1 练习
指出下列函数是怎样复合而成:

(1) y = sin 2 x; (2) y = 3 x + x + 1;
2

y = sin u ,
y = u,
y = cos u ,

u = 2x
u = 3x 2 + x + 1
u = sin x

(3) y = cos(sin x); (4) y = (a + bx n ) m; 1 (5) y = sin(1 ? ). x

y =u ,
m

u = a + bx .
n

y = sin u,

1 u = 1? x

13:32:45

① y x = y =[(3x? 2) ]' = (9x ?12x + 4) =18x ?12
'
'
2

问题: 如何求 y = (3 x ? 2 ) 2 的导数?
2 '

② 其实, =(3x ?2) 是一个复合函数, y
2

由 y=u
′ yu =

2

与 u = 3 x ? 2复合而成.

2u

=

6 x ? 4 ; u′x =
′ x y = y = yu ? u ′
' ' x

3 ;
' x

′ x 分析三个函数解析式以及导数 yu , u ′ , y
之间的关系:

13:32:45

复合函数的求导法则
定理 均可导, 设函数 y = f (u), u = ? (x) 均可导, , 也可导. 则复合函数 y = f (? (x)) 也可导 且

′ x 或 x y′ = yu ? u′, y′ = f ′(u) ?φ′(x) x

即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 因变量对自变量求导, 量求导,乘以中间变量对自变量求导. 量求导,乘以中间变量对自变量求导. ( 链式法 则 注意: )
1、法则可以推广到两个以上的中间变量; 2、求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定 中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导.

证 设变量 x 有增量 ?x,相应地变量 u 有 , 增量 ?u, 从而 y 有增量 ? y. 由于 u 可导 , , 可导,
所以 lim ?u = 0.
?x → 0

?y ? ?y ?u ? = lim ?y ? lim ?u lim = lim ? ? ? ?x → 0 ? u ?x → 0 ? x ?x → 0 ? x ?x → 0 ? u ? x ? ?

?y ?u ′ = lim ? lim = yu ?

u′x, ?u → 0 ? u ?x → 0 ? x



y′ = y′ ? u′ . x u x

y = sin 2 x 的导数 分析: 分析: (sin x)′ = cos x ? (sin 2 x)′ = cos 2 x ?
例1:求 :

解1:y ′x = ( s i n 2 x ) ′ = ( 2 s i n x c o s x ) ′ :
= 2 (cos x cos x ? sin x sin x ) = 2 cos 2 x

解2: y = sin 2 x 可由y=sinu,u=2x复合而成 :

′ yu = cos u , u ′ = 2 x

′ x ∴yu.u′ = 2cosu = 2cos2x ′ ′ ′ ∴yx = yu ?ux =2cos2x

练习2 练习2 解

设 y = (2x + 1)5,求 y ′.

把 2x + 1 看成中间变量 u, , 将 y = (2x + 1)5 看成是由 复合而成, y = u5,u = 2x + 1 复合而成, 由于

y′ u = ( u )′ = 5u ,
5 4

u′ = ( 2 x + 1)′ = 2. x

y′x = y′ ? u′ = 5u 4 ? 2 = 10( 2 x + 1)4 . 所以 u x

例2 解

设 y = sin2 x,求 y ′. , 这个函数可以看成是 y = sin x · sin x, 可利

用乘法的导数公式,这里, 用乘法的导数公式,这里, 我们用复合函数求导法. 我们用复合函数求导法 复合而成. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2,u = sin x 复合而成 而

y′ u = ( u 2 )′ = 2u ,
所以

u′ = (sin x )′ = cos x . x

′ y′x = yu ? u′x = 2u ? cos x = 2 sin x cos x .

例3 解

设 y = 1 ? x 2 , 求 y ′.
记在脑子中. 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中
1 2 u = 1 2 (1 ? x 2 ) 也在心中运算 .

′ yu = ( u )′ =

这样可以直接写出下式

y′ = x

1 2 (1 ? x 2 )

? (1 ? x )′ x =
2

?x 1 ? x2

.

练习3 练习3:设 f (x) = sinx2 ,求 f ′(x). 解

f ′( x ) = cos x 2 ? ( x 2 )′ x = 2 x cos x 2

作 业

课本P51页习题2-5第1,2题

例1 求下列函数的导数 1 () y = (2 + 5 x)10 1 x
【解析】

(2)

y = sin 3 x + sin x3

例1 求下列函数的导数 1 () y = (2 + 5 x)10 1 x (2) y = sin 3 x + sin x3

解:(2)y′=(sin3x+sinx3)′ =(sin3x)′+(sinx3)′ =3sin2x·(sinx)′+cosx3·(x3)′ =3sin2xcosx+3x2cosx3.

例2 求曲线y = 3 (3 x 2 + 1)在点( ,4)处的切线方程。 13
【解析】

自学课本:P50,例3

复习检测

复习检测

复习检测

复习检测

作 业 课本P51页习题2-5第3,5题

13:32:46


四 : 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

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求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

求导法则 简单复合函数的求导法则

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