无穷限的反常积分-无穷大:无穷大-极限的定义,无穷大-分类

一 : 无穷大:无穷大-极限的定义,无穷大-分类

在数学方面,无穷大并非特指一个概念,而是与下述的主题相关:极限、阿列夫数、集合论中的类、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限等。无穷大,就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。主要分为正无穷大、负无穷大和无穷大(可正可负),分别记作+∞、-∞以及∞,非常广泛的应用于数学当中。两个无穷大量之和不一定是无穷大;有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大(如常数0就算是有界函数);有限个无穷大量之积一定是无穷大。另外,一个数列不是无穷大量,不代表它就是有界的。

无穷大_无穷大 -极限的定义

无穷大量就是在自变量的某个变化过程中,绝对值无限增大的变量或函数。

精确定义

无穷大1.设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义(或|x|大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数M(无论它多么大),总存在正数δ(或正数X),只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X,即x趋于无穷),对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M,则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。在自变量的同一变化过程中,无穷大与无穷小具有倒数关系,即当x→a时f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,f(x)为无穷小,且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时,1/f(x)才为无穷大。无穷大记作∞,不可与很大的数混为一谈。2.①如果当x>0且无限增大时,函数f(x)无限趋于1个常数A,则称当x→+∞时函数f(x)以A为极限.记作f(x)→A﹙x→+∞﹚.②如果当x<0且x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限趋于1个常数A,则称当x→-∞时函数f(x)以A为极限.记作f(x)→A﹙x→-∞﹚

性质

2个无穷大量之和不一定是无穷大;有界量与无穷大量的乘积不一定是无穷大(如常数0就算是有界函数);有限个无穷大量之积一定是无穷大。另外,1个数列不是无穷大量,不代表它就是有界的(如,数列1,1/2,3,1/3,……

无穷大_无穷大 -分类

无穷大分为正无穷大、负无穷大,分别记作+∞、-∞,非常广泛的应用于数学当中。

无穷大_无穷大 -基数

简介

无穷大在集合论中对无穷有不同的定义。德国数学家康托尔提出,对应于不同无穷集合的元素的个数(基数),有不同的“无穷”。

这里比较不同的无穷的“大小”的时候唯一的办法就是通过是否可以建立“一一对应关系”来判断,而抛弃了欧几里得“整体大于部分”的看法。例如整数集和自然数集由于可以建立一一对应的关系,它们就具有相同的无穷基数。

自然数集是具有最小基数的无穷集,它的基数用希伯来字母阿列夫右下角标0来表示。

可以证明,任何1个集合的幂集(所有子集所形成的集合)的比原集合大,如果原来的基数是a,则幂集的基数记为2a(2的a次方)。这称为康托尔定理。

对于2个无穷集合,可以以能否建立它们之间的双射,作为比较其大小的标准。

确切地讲,我们用基数的概念来描述集合,对于有限集合而言,可以认为它的基数就是元素的个数,但对无穷集而言,基数只能以下面的方式理解(当然也可以据此把无穷集合的基数说成是它元素的个数,但这个个数已经不是日常用语中的意思)。

如果集合A与集合B之间存在双射(一一对应),就认为它们的基数一样大;如果A与B的某个子集有双射,就认为A的基数不比B更大,也就是A到B有单射,B到A有满射;当A的基数不比B更大,且A、B基数不一样大时,就认为A比B基数小。

在ZFC集合论的框架下,任何集合都是良序的,从而2个集的基数总是大于、小于、等于中的1种,不会出现无法比较的情况。但若不包括选择公理,只有良序集的基数才能比较。

例如,

可数集合,如自然数集,整数集乃至有理数集对应的基数被定义为“阿列夫零”。

比可数集合“大”的称之为不可数集合,如实数集,其基数与自然数的幂集相同,为二的阿列夫零次方,被定义为“阿列夫壹”。

由于1个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数,所以通过构造一系列的幂集,可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是,无穷基数的个数比任何基数都多,从而它是1个比任何无穷大都要大的“无穷大”,它不能对应于1个基数,否则会产生康托尔悖论的1种形式。

比较

最大的无穷大是多大呢?答案是没有尽头。事实上,(0,1)上的实数可以和正整数的所有子集的集合一一对应:把这些实数写成二进制,小数点后第n位为1,对应于n在子集中;为0则对应不在子集中。这样[0,1)上的实数就和正整数的子集有了一一对应,因此实数和正整数集的所有子集的个数一样多。也可以证明前面所说曲线可以和实数集的幂集有一一对应关系。我们把前面说的所有曲线看成1个集合,他的所有子集的个数又将比这个集合大。这个过程可以一直进行下去,得到越来越大的无穷大。另外还有1个问题,即连续统假设:整数的无穷大和实数的无穷大之间存不存在别的无穷大。也就是说,是否存在比整数基数大,而比实数基数小的无穷基数,也就是与之间有没有别的基数。更一般的,任给定无穷基数a,在a和2a之间是否有别的基数?这称为广义连续统假设。数学家证明了这样1个事实:连续统假设无法在ZFC集合论公理下被证明或证伪,换而言之,承认连续统假设将导出1个体系;不承认将导出另外1种体系。连续统假设或其否定均可作为额外的公理。在集合论里可以证明,比1个集合基数大的最小基数是存在的,如果你承认连续统假设,那么可以把改写成,改写成,某些书籍正是这么做的,但是未明确指出这一点。

无穷大_无穷大 -网上质疑

无穷大有人是这样质疑集合论的:无穷大无穷大[1]"康托时代,建立了对等比较法,认为由于自然数集,可以和偶数集建立一一对应关系,所以自然数和偶数集等势。又用对角线法,证明实数集比自然数集大。但是对等的方法,只能在有限集比较中有效。扩展到无限集是不可信的。“问:某班学生人数与教室的凳子数哪个多?最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上,而且1个学生只能坐一张凳子。最后,如果有学生没坐到凳子,那么便是学生多。如果最后有凳子空着,那么便是凳子多。”如果是有限数量,可以用一对一的方法比较,无限数量,不行。
假设来个副校长,要求每2个学生坐1个凳子,然后他检查了教室一,教室二,教室三......他看到的每个教室都是如此,后面的教室他认为不用检查了(或根本不可能检查完——无穷的概念),于是他宣布,本学校凳子数量,正好是学生数量的一半。第二天,又来个副校长,要求每个学生坐1个凳子,然后他检查了教室一,教室2,教室三......他看到的每个教室都是如此,后面的教室他认为就不用检查了(根本不可能检查完——无穷的概念),于是他宣布,本学校凳子数量,正好等于学生数量。两位自以为是的校长都有可能是对的,也可能是错的,方法不对。
在有限集的比较过程中,关键不在建立了怎样的对应关系,关键在于我们要比较到最后,至少1个集合结束了,而另1个集合中元素数量已经超过对比集合数量,而且还没结束,我们才能证明1个集合建立的对应关系比另1个集合数量多。"回应:数学的特点是自洽就可以,我们可以定义有一一映射为等势,这与自身并不矛盾。从这个定义出发,人们可以创造丰富的学问。至于如何通俗地理解等势,等势和通俗的数量相等有何关系,这不是数学所考虑的范围。在这个问题中,2个校长从自身关于有限集的经验出发,试图通俗地理解无限集的等势概念,其所得到的结论都有道理。这只是通俗地理解数学概念的不同方式罢了,并不意味着等势概念就是错误的,或者说自相矛盾的。顺便说一下,从数学专业的角度来看,后来的那个校长的观点更容易理解。

二 : 从负无穷到正无穷的反常积分,被积函数如果是奇函数(或者关于x=x?

负无穷到正无穷的反常积分,被积函数如果是奇函数

从负无穷到正无穷的反常积分,被积如果是奇函数(或者关于x=x0,y=0点中心对称),为什么有的能直接写0,有的是发散?
问题出在哪里?


①如果你是“非数学专业”,那么我们的定义是

∫<-∞,+∞>f(x)dx=lim∫f(x)dx,a与b独立,a→-∞,b→+∞并不同步。

②如果你是“数学专业”,那么我们就有2种完全不同的定义,1种与高数一样。

另1种非常特殊,与高数不一样,

∫<-∞,+∞>f(x)dx=lim∫<-a,a>f(x)dx----柯西主值。

举例∫<-∞,+∞>sinx dx,按常规定义

∫<-∞,+∞>sinx dx

=lim∫sinx dx

=lim[cosa-cosb]不存在(因为a与b独立,a→-∞,b→+∞并不同步)。

举例∫<-∞,+∞>sinx dx,按柯西主值定义

∫<-∞,+∞>sinx dx

=lim∫<-a,a>sinx dx

=lim[cos(-a)-cosa]=0。

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如果你是“非数学专业”,那么请牢牢记住:

无论 f(x) 是不是奇函数,当且仅当 ∫<-∞,0>f(x)dx 和 ∫<0,+∞>f(x)dx 同时都收敛,∫<-∞,+∞>f(x)dx才收敛。

否则∫<-∞,+∞>f(x)dx发散。

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如果你是“数学专业”,那么请搞搞明白:【柯西主值】是1种特殊定义。

三 : 友情,友情(六)夜无觞的反常

  受伤的浅笑笑被周睿城带走后,米莉校长才和一群药剂师到达了这里。

  米莉校长见辛苦研制的药水竟这样毁于一旦,一时感到腿软,瘫坐在地,药剂师们赶紧上去搀扶。

  米莉校长摆了摆手,虚弱的问冷简:“你看到了整个画面,到底发生了什么事!”

  冷简笑了笑:“只是看见了溟和殇的决斗罢了。”

  米莉大吃一惊:“冷简,你看见殇的真面目了?”

  冷简:“当然没有,但是,我认为一个人很可疑。”

  米莉面色凝重,说道:“冷简同学,你跟我去一趟办公室。”

  校长办公室里——————

  “冷简,你竟然怀疑是她~!”米莉校长听见答复后满脸的吃惊。

  “校长,不是我随意猜测,这是有根据的!”冷简满脸恨意的说着。“我们一家的死就是她导致的!”

  米莉显然吃了一惊。“当时,我看见她去找我的妹妹冷依诺,不到二十分钟后,我们全家就丧命了。”冷简顿了顿“你不觉得可疑吗?”米莉校长还没说话,沉思着"昨晚的爆炸,我明明在街上碰见了夏汐,她却把一把刀架在我的脖子上,我撒了个谎,夏汐才没有杀我。然后,夏汐就很快的飞跑去的仓库……“”别说了。“米莉校长一脸平静:”我会调查的。“

  冷简点点头,刚想离开,米莉校长又叫住了他:”等等,冷简。“

  冷简回目:”校长,还有什么事吗?“

  米莉校长说:”我这里还有三剂成品,只能救活三个人,这样对全体事业没有任何的帮助,还是给你去复活你的家人吧!你也不容易。“

  冷简欣喜若狂,赶紧接过:”校长,谢谢您!“冷简一走,

  冷简狂奔去了墓地,气喘吁吁的对着爸爸和妹妹的坟墓:”爸爸,妹妹,我来救你们了!“但是,三具死尸上覆盖了厚厚的泥土,还砌上了瓷砖。难道真的要冷简找师傅拆个几天几页吗!师傅肯定会很奇怪、害怕的,不会有谁愿意接这个单子的。

  此时,凌风学院的第一大校草——夜无觞出现在冷简的身后。他低着头,碎碎的刘海盖下来,遮住了眉目。在日光灯的照耀下,男孩那层次分明的茶褐色头发顶上居然还映着一圈儿很漂亮的亮光。凛冽桀骜的眼神,细细长长的单凤眼,高挺的鼻梁下是两瓣噙着骄傲的薄唇。最引人注目的是他左眉骨上那一排小小的闪着彩色光芒的彩虹黑曜石眉钉,和他的眼神一样闪着犀利的光芒。

  不可思议的是,夜无觞俊朗的外表下,隐藏着一个特殊技能——虚空。

  所谓虚空,就是让千里之外的事物移动到眼前,随之爆破或修复。只有道上的绝顶高手才会这个技能。听说大名鼎鼎的W都是修炼十年才学会的。

  冷简激动ing:“无觞,你终于来了!"夜无觞懒懒的一抬头:”烦死了。“说完,夜无觞抬起一只手,将三具尸体移动了出来。”夜无觞拿着复活药水,在冷简的不经意中悄悄放进了一种药粉。

  冷简根本没发现。夜无觞的嘴角扬起了诡异的笑容。接着面色凝重起来,两只眼睛不错眼珠的盯着不远处的大榕树。冷简这时已经复活了冷思毅、冷依诺和冷依雪。看着他们缓缓睁开了眼睛。

  冷简赶紧问:“你们还好吗?夏汐是怎么把你们害死的!”

  冷依诺、冷依雪什么事都记得清清楚楚,唯独忘记了夏汐的事。冷思毅……额…………他还没知道真相就被夏汐无辜的炸死了…………冷简问了很久,终于发现了以上这些事…….夜无觞窃笑着:“这还怎么找!”

  夏汐躲在大榕树后面,她奇怪的想:“我明明看见夜无觞往药水里放了克制复活药水的其中之一的失忆因素,为什么要帮我?”

  夏汐疑惑的往外面看了一眼,正好装上了夜无觞的目光。夜无觞早就知道她在这里了,对她摆了两个‘v"的手势,寓意为胜利。夏汐惊诧的想:“天哪,夜无觞竟然真的再帮我,还比划剪刀手!拿什么拯救你,我早逝的世界观…………不对,夜无觞会虚空?整个黑道上只有十个人会啊!他的武力这么高强吗?“

  醒来的冷依诺看见夜无觞,两只眼睛直喷桃心:"无觞欧巴你好帅……..”“天哪,失忆了都不忘这件事!”夜无觞十分头痛的想着,只好拔腿就跑了!

  夜无觞路过大榕树时,还对夏汐轻轻的吐出一个字:“殇”夏汐吓了一跳,她该怎么办呢?

  夏汐理清了思路,又突然想到:”冷依诺醒了,浅笑笑怎么办?话说这浅笑笑好几天都不见踪影了,我还是先去她家,告诉她这个惊天的消息吧!“

  浅笑笑家————

  周睿城对浅笑笑的伤口布施了魔咒:”Enervate!“(PS:这里是哈利.波特里的魔咒,寓意为复苏咒语)浅笑笑马上就恢复成功了。夏汐来的时候,周睿城才刚走。

  夏汐一进门,就看见浅笑笑在床上吃薯片。夏汐大叫道:”浅笑笑,你倒挺悠闲的,还有心情吃零食,你知道发生什么事吗!“浅笑笑立刻严肃起来:”夏汐太平洋的总警察,有何吩咐!“夏汐笑出了声,捏了浅笑笑一把,才开始说爆炸的事。

  浅笑笑本来就是参与爆炸的溟,她怎么会不了解事实呢,所以,这一段她也没认真听,可接下来的事情让她大吃一惊。

  ”什么!冷家人复活了!!!“浅笑笑的声音还真TM响彻云霄啊……

  夏汐说:”虽然仓库爆炸了,但是米莉校长那里还有三剂成品你所以就给了冷简。

    初三:离殇

四 : 从负无穷到正无穷的反常积分,被积函数如果是奇函数(或者关于x=x?

负无穷到正无穷的反常积分,被积函数如果是奇函数

从负无穷到正无穷的反常积分,被积如果是奇函数(或者关于x=x0,y=0点中心对称),为什么有的能直接写0,有的是发散?
问题出在哪里?


①如果你是“非数学专业”,那么我们的定义是

∫<-∞,+∞>f(x)dx=lim∫f(x)dx,a与b独立,a→-∞,b→+∞并不同步。

②如果你是“数学专业”,那么我们就有2种完全不同的定义,1种与高数一样。

另1种非常特殊,与高数不一样,

∫<-∞,+∞>f(x)dx=lim∫<-a,a>f(x)dx----柯西主值。

举例∫<-∞,+∞>sinx dx,按常规定义

∫<-∞,+∞>sinx dx

=lim∫sinx dx

=lim[cosa-cosb]不存在(因为a与b独立,a→-∞,b→+∞并不同步)。

举例∫<-∞,+∞>sinx dx,按柯西主值定义

∫<-∞,+∞>sinx dx

=lim∫<-a,a>sinx dx

=lim[cos(-a)-cosa]=0。

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如果你是“非数学专业”,那么请牢牢记住:

无论 f(x) 是不是奇函数,当且仅当 ∫<-∞,0>f(x)dx 和 ∫<0,+∞>f(x)dx 同时都收敛,∫<-∞,+∞>f(x)dx才收敛。

否则∫<-∞,+∞>f(x)dx发散。

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如果你是“数学专业”,那么请搞搞明白:【柯西主值】是1种特殊定义。

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