平稳随机过程-随机信号chapter③平稳随机过程

一 : 随机信号chapter③平稳随机过程

第三章

Chapter 3 ==========================================

3.2 随机过程??t?为??t??Acos??0t???式中,A具有瑞利分布,其概率密度为

PA?a??

a

?2

e

?

a22?2??上均匀分布,?与?是两个相互独立的随机变量,,a?0,?在?0,

?0为常数,试问X(t)是否为平稳过程。(www.loach.net.cn]

解:由题意可得:

2??

a22?

2

????t???

??acos??0t???

00

a

?2

e

?

1a?dad???a2e2??0

?

?

a22?

2

2?

da?

1

cos??0t???d??0?02?0

?a22?R???t1,t2??????t1???t2?????acos??0t1???acos??0t2???

00

?

?2?

1a

e2??2

dad?

??a

0?

2

a

?2

2

?

e

2?

?

a

22?

da?cos??0t1???cos??0t2???

2?

2?

1?2?

a2

2

???ae

0?

a21d(?2?2?2?0

???a2de

?

?

a22?2

?11?

??????cos?t?t?cos?t?t?2???d?021012

2??2

a2???a2?1?1?22?2??2?2?2

?cos?0?t2?t1????ae?eda??cos?0?t2?t1?0?220????11

?cos?0?t2?t1??2?2?cos?0?t2?t1???2cos?0?t2?t1?22

??2?2?1de

?

a22?可见????t??与t无关,R???t1,t2?与t无关,只与?t2?t1?有关。

???t?是平稳过程

另解:

????t???E[Acos(?0t??)]?E?A?E[cos(?0t??)]?E[A]x0?0;

R(t,t??)?EA2cos(?0t??)cos(?0(t??)??)?EA2E?cos(?0t??)cos(?0(t??)??)?

????

EA2?E?cos((2?0t??0?)?2?)?cos(?0?)?2 2

EA?cos(?0?)

2

????

???t?是平稳过程

asint 随机信号chapter③平稳随机过程

3.3 设S(t) 是一个周期为T的函数,随机变量?在(0,T)上均匀分布,称X(t)=S(t+?),

为随相周期过程,试讨论其平稳性及各态遍历性。(www.loach.net.cn]

解:

111E[X(t

)]?E[S(t??)]? ?S(t??)???S(t??)??TTT00

1?TT??TTT?t?S(t??)d?t1''S(?)d???T?T??1S(x)dx?S(x)dx?constant??T?0

TTT11R(t,t??)?E[S(t??)S(t????)]??S(t??)S(t????)???S(t??)S(t????)d?TT00

1?TT?t1'''S(?)S(???)d??S(?)S(???)d??R(?)?tT?0'''T

???t?是平稳过程

1TX(t )?lims(t??)dtT??2T?T

1T?s(t??)dt0T

1 T?s(?)d?T0

?E [X(t)]

X(t) X(t??)

1T?limx(t)x(t??)dt T??2T?T

1T ?lims(t??)s(t????)dtT??2T?T

1 T?s(?)s(???)d?0T

?R (?) X 该随机过程是各态历经的 ??????

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3.4 设X(t)随相周期过程, 图?给出了其一个样本函数,周期T,幅度a 都是常数,t0为(0,

T)上均匀分布。[www.loach.net.cn)求均值。

解: 样本函数为: ?8a?(t-t0?nT)???T x(t)?????????8a(t-t0-T?nT)????4?????Tt0?nT?t?t0?nT?t0?nT?T8 TT?t?t0?nT?84

tt0-T/8??18a?0TE[X(t)]??x(t)dt0?2??(t-t0)dt0??(t-t0?)dt0?T??4T??t0?T/4?t0-T/8?

4a?Ttt-T/8? ??2?(t-t0)2

t-T/8?(t-t0?)2

t-T/4?4T??

??4a?T2?a2-(T/8)?()??8T2???8

E[X(t)]?0otherwise

3.6 随机过程X(t)?Acos(?0t??) A或为随机变量或不是, 式中?0为常数,

?~(0,2?)上均匀分布,求:(1)时间自相关函数及集自相关函数。(2)A具备什么条件两种自相关函数才相等。

解:

(1) 集自相关

R(t1,t2)?EA2cos(?0t1??)cos(?0t2??)

1?E[A2]cos(?0?t1?t2?)2

1?E[A2]cos(?0?)2

(2)时间自相关

T?? ?E[A2]E?cos(?0?t1?t2??2?)?cos(?0?t1?t2?)?1(?)?limA2cos(?0t??)cos(?0t??0???)dt?T??2T?T

1?cos(2?0t??0???)?cos(?0?)?dt?AlimT??2T2??T2T

?A2cos(?0?)

2

?E[A2]?A2时, 即A为常数时,两者相等。

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3.7随机过程X(t)?Asint?Bcost 式中,A,B均为零均值的随机变量,求证:X(t) 是均值各态历经, 而均方值无各态历经性。[www.loach.net.cn)

解:

E[X(t)]= E[Asint?Bcost]?E[A]sint?E[B]cost?0

1[X(t)]?2?

22??0[Asint?Bcost]dt?0 2222E[X(t)]?E[?Asint?Bcost?]?E[A]sint?E[B]cos2t?2E[A]E[B]costsint

?E[A]sint?E[B]cost

1[X(t)]?2?22?2222 ?0[Asint?Bcost]2dt?1(A2?B2) 4?

故,X(t)均值各态遍历,均方值则非。

3.8 设X(t) 与Y(t)为统计独立的平稳过程,求证他们的乘积构成的随机过程Z(t)=X(t)Y(t)

也是平稳的。

解: E[Z(t)]?E[X(t)Y(t)]?E[X(t)]E[Y(t)]?mXmY

RZ(t1,t2)?E?X(t1)Y(t1)X(t2)Y(t2)?

?E?X(t1)X(t2)?E?Y(t2)Y(t2)?

?RX(t1,t2)RY(t1,t2)

???t?是平稳过程

3.9设X(t) 与Y(t)为单独和联合平稳,求:

(1)Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数

(2)X(t)与Y(t)统计独立时的结果

(3)X(t)与Y(t)统计独立时且均值为零时的结果。

解:

RZ(t1,t2)?E?[X(t1)?Y(t1)][X(t2)?Y(t2)]?

?RX(?)?RY(?)?RXY(?)?RXY(?)?E?X(t1)X(t2)?Y(t1)X(t2)?X(t1)Y(t2)?Y(t2)Y(t2)?

RZ(?)?RX(?)?RY(?)?2mXmY

RZ(?)?RX(?)?RY(?)

3.10 平稳过程X(t)的自相关系数为:RX(?)?4e

(1) 求E[X2(t)]和? 2??cos???cos3??

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(2) 若将正弦分量视为信号,其他为噪声,求功率信噪比

解:

(1)

E[X2(t)]?R(0)?4?1?5

12 mX?limR(?)?0T??T

?2??2?mX2?5

RS(?)?cos3??; RS(0)?1

RN(?)?4e

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S?1/4 N??cos??; RN(0)?4

3.12随机过程X(t)为: X(t)?Aco(?st??),式中A,?0, ?统计独立随机变量, 其中 A的均值为2,方差位4, ?~(??,?)上均匀分布。(www.loach.net.cn)?~[?5,5]上均匀分布,X(他t)是否各态历经,并求出相关函数。

解:

E[X(t)]?E[A]E[cos(?t??)]

?E[A]E[cos?tcos??sin?tsin?]

?E[A]E[cos?t]E[cos?]?E[sin?t]E[sin?]

?0

?? ?[X(t)]?i

2?2?/?i?acos(wt??)dt?0 iii

所以是均值各态历经。

3.13 设X(t) 与Y(t)为平稳过程,且相互独立,他们的自相关函数分别为:

RX????2e?2?cos??

RY????9?e?3?2

设 Z(t)=VX(t)Y(t)

V是均值为2,方差为9的随机变量,求Z(t)的均值,方差,和相关函数。

解:

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RX?0??2e?2?cos???2

?10

2

XRY?0??9?eRX????2e

?3?2?2??0?m RY????9?e?3?22?9?mY

RZ(t1,t2)?E?[VX(t1)Y(t1)][VX(t2)Y(t2)]?

?E[V2]E?X(t1)X(t2)}E{Y(t2)Y(t2)?

?E[V2]RX(?)RY(?)

RZ????26e?2?3?2??cos????9?e? ??

E[Z(t)]?0

RZ?0??260

?2Z?RZ?0??RZ????260

3.14 设X(t)是雷达的发射信号,遇到目标后的回波信号 aX(t??),a??1,?1是信号返回时间,回报信号必然伴有噪声,计为N(t), 于是接收到的全信号为: Y(t)?aX(t-?1)?N(t)

(1) 若X(t)和Y(t)联合平稳,求互相关函数RXY???

(2) 在(1)条件下,N(t)均值为零,并与X(t)相互独立,求RXY??? 解:

RXY(t1,t2)?E?[(aX(t1-?1)?N(t1)]Y(t2)?

?aE?X(t1-?1)Y(t2)??E?N(t1)X(t2)?

?aR()?RXN(t1,t2)X?-?1

(2)

RXY(t1,t2)?E?[(aX(t1-?1)?N(t1)]X(t2)?

?aE?X(t1-?1)X(t2)??E?N(t1)X(t2)?

?aR()?RXN(t1,t2)X?-?1

?aR()X?-?1

3.15

设X(t) 与Y(t)单独且联合平稳,且相互独立,

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X(t)?acos(?0t??)

Y(t)?bsin(?0t??) 式中 a,b为常量,?~(??,?)上均匀分布。[www.loach.net.cn) 求 互相关函数RXY???, 并讨论在本题的具体情况下,??0的互相关函数的意义。 解:

?RXY(t1,t2)?E?[acos(?0t1??)bsin(?0(t1??)??)

abE?sin(?0(2t1??)?2?)?sin(?0?)?2

ab?E?sin(?0(2t1??)?2?)?sin(?0?)? 2

abab?E?sin(?0(2t1??)?2?)??sin(?0?)22

ab?sin(?0?)2?

RXY???0??0 表明了X(t),Y(t)两过程同时刻正交。

3.16 设X(t) 与Y(t)为非平稳过程,且相互独立,

X(t)?A(t)cos(?0t)

Y(t)?B(t)sin(?0t) 式中 A(t),B(t)为相互独立且均值为零的平稳过程,并有相同的相关函数,求证:Z(t)=X(t)+Y(t)是宽平稳过程。 证明:

E[Z(t)]?E[A(t)cos(t)?B(t)sin(t)]?0

RZ(t1,t2)?E?[X(t1)?Y(t1)][X(t2)?Y(t2)]?

?E[A(t1)A(t2)cost1cost2?2A(t)B(t)costsint?B(t1)B(t2)sint1sint2]?RA(?)cos(?)

3.17 如图所示的随机过程X(t)的样本函数,它在t0?nta时刻有宽度为b的矩形脉冲,脉冲幅度以等概率取?a,t0是在周期ta上均匀分布的 随机变量,而且t0 解:

x(t)?c?U(t?t0?nts)?U(t?t0?nts?b)?,n?0,?1,?2,......c??a ?0.5RA(?)?cos(t1?t2)?cos(t1?t2)??0.5RB(?)?cos(t1?t2)?cos(t1?t2)?

asint 随机信号chapter③平稳随机过程

RZ(t1,t2)?Ec2?U(t1?t0?nts)?U(t1?t0?nts?b)??U(t2?t0?nts)?U(t2?t0?nts?b)??E[c2]E??U(t1?t0?nts)?U(t1?t0?nts?b)??U(t2?t0?nts)?U(t2?t0?nts?b)??

1?E[c]ts2ts?? ??U(t01?t0?nts)?U(t1?t0?nts?b)??U(t2?t0?nts)?U(t2?t0?nts?b)?dt

?E[c2]1??t1?t0?n1ts?b???t2?t0?n2ts??ts

?21E[c]?b???ts?????0?

?b?(i?1)ts???b?its??otherss

EX2(t)?RX(0)?E[c2]??1bb?a2 tsts

3.20 设X(t)为零均值的高斯平稳过程,若又有一个新的随机过程Y(t)满足Y(t)?X2(t),

2求证:RY(?)?R2(0)?2RXX(?)

证明:

RY(t1,t2)?E[X2(t)X2(t??)]?E[X2(t)] ?

????????????

3.21 设 U(t)是电阻热噪声产生的电压随机过程,并有平稳高斯分布,若RC=10-3s

?9C?3x1.38x10F,T=300K, 并知热噪声电压的自相关函数为:

RU(?)?kT?a?1c,?? CRC

?23式中k?1.38x10J/K, 为波尔兹曼常数,求热噪声电压的均值,方差,及在某一时刻

电压超过1uV的概率。(www.loach.net.cn)

解:

kT?ac?0;C

?2?R(0)?kT

XC

kT?X2?R(0)-RU(?)??10?12

CmX?RU(?)?2

asint 随机信号chapter③平稳随机过程

f(v)???1v2

exp??kT?2kT2??C?C?? ????

10?6

Pv?10?6?1?Pv?10?6?1?????

?????2?v?1exp???dvkT?2?2?C??C

?v2?1?1??exp???dv2??2???

?1?0.8413?0.15871

3.14 设X(t)是雷达的发射信号,遇到目标后的回波信号 aX(t??),a??1,?1是信号返回时间,回报信号必然伴有噪声,计为N(t), 于是接收到的全信号为:

Y(t)?aX(t-?1)?N(t)

(3) 若X(t)和Y(t)联合平稳,求互相关函数RXY???

(4) 在(1)条件下,N(t)均值为零,并与X(t)相互独立,求RXY???

解:

RXY(t1,t2)?E?[(aX(t1-?1)?N(t1)]X(t2)?

?a2E?X(t1-?1)X(t2)??E?N(t1)X(t2)?

?a2R(?RXN(t1,t2)X?-?1)

(2)

RXY(t1,t2)?E?[(aX(t1-?1)?N(t1)]X(t2)?

?a2E?X(t1-?1)X(t2)??E?N(t1)X(t2)?

?a2R(?RXN(t1,t2)X?-?1)

?a2R(X?-?1)

3.7随机过程X(t)?Asint?Bcost 式中,A,B均为零均值的随机变量,求证:X(t) 是均值各态历经, 而均方值无各态历经性。[www.loach.net.cn)

解:

E[X(t)]= E[Asint?Bcost]?E[A]sint?E[B]cost?0

2?

[X(t)]??0

2[Asint?Bcost]dt?0 22E[X2(t)]?E[?Asint?Bcost?]?E[A2]sin2t?E[B]cos2t?2E[A]E[B]costsint?E[A]sint?E[B]cost222

asint 随机信号chapter③平稳随机过程

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1[X(t)]?2?22??0[Asint?Bcost]2dt?1(A2?B2) 4?

故,X(t)均值各态遍历,均方值则非。(www.loach.net.cn]

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二 : 平稳随机过程及其遍历性

1.3 平稳随机过程及其遍历性
平稳性:若一个函数 f ( x, y, z, t ) ,当 x ? x ? ?x, f ( x, y, z, t )的特性不变,就称 f ( x, y, z, t ) 关于 x 函数是平稳的。 对确定函数来说:特性不变指函数值不变。 对随机过程来说:特性不变指统计特性不变, 且仅仅对时间变量t而言。 严格平稳 分类 宽平稳(广义平稳)
1

《随机信号分析》教学组

随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程 的主要物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的

噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化,
使得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时 间后, 温度变化趋于稳定, 这时的噪声电压信号可以

认为是平稳的。

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2

一 平稳随机过程
1 严平稳随机过程(Strictly Stationary Process) (1) 定义 如果随机过程的任意n维分布不随时间起点 变化,即当时间平移时,其任意的n维概率密度 不变,则称是严(格)平稳的随机过程 或称为 狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,?, xn , t1 ? ?t ,?, tn ? ?t ) ? f X ( x1 ,?, xn , t1 ,?, tn )
实际应用中,通过上式来判定过程的平稳性是很不容易的,因 此在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测的有限时间 平稳就行了。 《随机信号分析》教学组
3

f X ( x1 ,?, xn , t1 ? ?t ,?, tn ? ?t ) ? f X ( x1 ,?, xn , t1 ,?, tn )

(2) 特性

? 一阶平稳(n=1)
严平稳随机过程的一维概率密度函数与时间无关

n ? 1, ?t ? ?t1 时,对于一维概率密度有:
f X ( x1 , t1 ? ?t ) ? f X ( x1 , t1 ) ? f X ( x1 ,0) ? f X ( x1 )

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4

随机过程X(t)的均值,均方值和方差都是平稳的
都与时间t无关

E[ X (t )] ? ? xf X ( x)dx ? mX
?? 2 E[ X (t )] ? ? x 2 f X ( x)dx ? ? X 2 ?? ? ?

?

D[ X (t )] ? ? ( x ? mX ) f X ( x)dx ? ?
2 ??

2 X

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5

f X ( x1 ,?, xn , t1 ? ?t ,?, tn ? ?t ) ? f X ( x1 ,?, xn , t1 ,?, tn )

? 二阶平稳(n=2)

严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关,而与时间起点无关。

n ? 2, ?t ? ?t1 ,? ? t2 ? t1时,二维概率密度:

f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) ? f X ( x1 , x2 , t1 ? ?t , t2 ? ?t ) ? f X ( x1 , x2 ,0, t2 ? t1 ) ? f X ( x1 , x2 ,? )
从概率密度函数的角度讲,高阶平稳一定低阶平稳

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6

f X ( x1 , x2 , t1 , t2 ) ? f X ( x1 , x2 ,? )

随机过程X(t)的自相关函数,自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无



RX (t1 , t2 ) ? ?

?

?? ?? ?

?

?

x1 x2 f X ( x1 , x2 ; t2 ? t1 )dx1dx2 x1 x2 f X ( x1 , x2 ;? )dx1dx2 ? RX (? )

??

?? ??

?

?

K X (t1 , t2 ) ? RX (t1 , t2 ) ? mX (t1 )mX (t 2 )
2 ? RX (? ) ? mX ? K x (? )
2 2 若 t2 ? t1 ,则 K X (0) ? RX (0) ? mX ??X

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7

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8

(3) 严平稳随机过程的判断
按照严平稳随机过程的定义,判断一个随机过程 是否为严平稳,需要知道其n维概率密度,可是求n维 概率密度是比较困难的。不过,如果有一个反例,就 可以判断某随机过程不是严平稳的,具体方法有两个:
k 1) 若X(t)为严平稳,k为任意正整数,则 E[ X (t )]

与时间t无关。 2) 若X(t)为严平稳,则对于任一时刻t0 , X(t0)具 有相同的统计特性。
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9

实际中,要确定一个对一切n都成立的随机过 程概率密 度函数族是十分困难的,因而在工程中往往根据实际需要只 在相关理论范围内考虑平稳过程问题。 相关理论:只限于研究随机过程一阶和二阶矩的理论。 即研究随机过程的数学期望、相关函数以及功率谱密度等。 随机过程的一、二矩函数虽然不能像多维概率密度函数 那样全面的描述随机过程的统计特性,但它们在一定程度上 相当有效的描述了随机过程的重要特性。 (1)平稳随机过程表示噪声电压,一、二矩函数可以 表示噪声的平均功率的直流、交流分量以及总功率的重要参 数。 (2)工程中常见的随机过程是高斯过程,只要知道数 学期望和相关函数,则多维概率密度函数就确定了。
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10

2 宽(广义)平稳随机过程(Weakly Stationary Process)
若随机过程X(t)满足

mX (t ) ? mX

RX (t1 , t2 ) ? E[ X (t1 ) X (t2 )] ? RX (? )
? 2 (t ) ? E[ X 2 (t )] ? ?
X

则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。 严平稳与宽平稳的关系: 一定 严格平稳 不一定

广义平稳

当随机过程满足高斯分布时,严平稳和宽平稳是等价的。
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11

为什么要研究宽平稳随机过程?

随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地 说, 所有信号都是非平稳的, 但是, 在自然界和实 际应用中许多随机过程可以近似为平稳信号。且平 稳信号分析要容易得多,理论成熟,是随机信号分 析的基础。 物理规律或统计结果与随机试验的时间起点无 关在线性时不变系统中,输入宽平稳,输出也宽平 稳。

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12

例 随机相位信号 X (t ) ? A cos(?0t ? ?) 是否平稳? 解 mX (t ) ? E[ X (t )] ? E[ A cos(?0t ? ?)]
1 ? A? cos(?0t ? ? ) d? ? 0 0 2? RX (t1 , t2 ) ? E[ X (t1 ) X (t2 )] ? E[ A cos(?0t1

? ?) A cos(?0t2 ? ?)] 1 2 ? A E[cos ?0 (t1 ? t2 ) ? cos[?0 (t1 ? t2 ) ? 2? ]] 2 1 2 1 2 2? 1 ? A cos ?0 (t1 ? t2 ) ? A ? cos[?0 (t1 ? t2 ) ? 2?]d ? 0 2 2 2? 1 2 1 2 ? A cos ?0 (t1 ? t2 ) ? A cos ?0 ? 2 2
2?

X(t)均值为“0”,自相关函数仅与时间间隔有关,故X(t)是宽平稳的。 《随机信号分析》教学组
13



设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint,-?<t< ?。其中 X,Y为相互独立的随机变量, 且分别以概率

2/3、1/3取值-1和2。 试讨论随机过程Z(t)的平
稳性。

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14



2 1 E ( X ) ? E (Y ) ? (?1) ? ? 2 ? ? 0 3 3 2 2 1 2 4 2 2 2 E ( X ) ? E (Y ) ? (?1) ? ? 2 ? ? ? ? 2 3 3 3 3
2 3 1 2 8 E ( X ) ? E (Y ) ? (?1) ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 3 3 3 3
3 2 3

E ( XY ) ? E (YX ) ? E ( X ) E (Y ) ? 0

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15

mZ (t ) ? E[Z (t )] ? E[ X ]cos t ? E[Y ]sin t ? 0

RZ (t1 , t2 ) ? E[ Z (t1 ) Z (t2 )] ? E{[ X cos t1 ? Y sin t1 ][ X cos t2 ? Y sin t2 ]} ? E[ X 2 ]cos t1 cos t2 ? E[Y 2 ]sin t1 sin t2 ? E[ XY ]cos t1 sin t2 ? E[YX ]sin t1 cos t2 ? 2 cos t1 cos t2 ? 2 sin t1 sin t2 ? 2 cos(t1 ? t2 ) ? 2 cos ?
RZ (0) ? 2 ? ?

? ? t1 ? t2

Z(t)是广义平稳的。
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16

E[ Z 3 (t )] ? E{[ X cos t ? Y sin t ]3} ? E[ X 3 cos3 t ? Y 3 sin 3 t ? 3 X 2Y cos2 t sin t ? 3Y 2 X cos t sin t ] ? 2 ? ? cos3 t ? sin 3 t ?

Z(t)不是严格平稳的。

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设随机过程X(t)=At,A为标准正态分布 的随机变量。试问X(t)是否平稳?

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E[ X (t )] ? E[tA] ? tE[ A] ? 0

RX (t1, t2 ) ? E[ X (t1 ) X (t2 )] ? t1t2 E[ A2 ] ? t1t2

所以X(t)是非平稳的。

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二 平稳随机过程自相关函数的性质
数学期望和相关函数是随机过程的基本数字特征。
对于平稳随机过程而言,数学期望是常数,经中心 化后为零,所以基本的数字特征实际上就是相关函数。

相关函数不仅仅展示随机过程各随机变量(状态)间关 联特性的信息,而且也为随机过程的功率谱密度以及从 噪声中提取有用信息的工具。 要求:
(1)根据图形或表达式判断一个函数是否是广义平稳 过程的自相关函数;

(2)根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。
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性质1 性质2

2 RX (0) ? E[ X 2 (t )] ? ? X ? 0 平均功率

RX (? ) ? RX (?? )

K X (? ) ? K X (?? ) 偶函数

证: RX (? ) ? E[ X (t ) X (t ? ? )] ? E[ X (u) X (u ? ? )] ? RX (?? ) 同理 K X (? ) ? K X (?? )

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性质3

RX (0) ? RX (? )

2 K X (0) ? ? X ? K X (? )

极值性

当 ? ? 0 平稳过程

的相关函数具有最大值。 物理意义:随机过程同一时刻随机过程自身的相关性最强。

证:任何正函数的数字期望恒为非负值,即
E[( X (t ) ? X (t ? ? )) 2 ] ? 0 E[ X 2 (t ) ? 2 X (t ) X (t ? ? ) ? X 2 (t ? ? )] ? 0

对于平稳过程X(t),性质1可知 代入前式,可得 2RX (0) ? 2RX (? ) ? 0
2 于是 RX (0) ? RX (? ) 同理 K X (0) ? ? X ? K X (? )

E[ X 2 (t )] ? E[ X 2 (t ? ? )] ? RX (0)

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性质4 若平稳过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T),则称 它为周期平稳过程,其中T为随机过程周期。 周期平稳过程的自相关函数必是周期函数, 且与随机过程的周期相同。即:周期平稳过 程X(t)=X(t+T),T为周期,则相关函数满足

R(? ) ? R(? ? T )
证:由自相关函数的定义和周期性条件,容易得到
RX (? ? T ) ? E[ X (t ) X (t ? ? ? T )] ? E[ X (t ) X (t ? ? )] ? RX (? )

性质5

若平稳过程含有一个周期分量,则自相关函数 RX (? ) 含有同一个周期分量。
自相关函数可用来检测信号是否含有周期分量。
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例:设随机过程为 式中 A, ?0 为常数, ? 为 (0, 2? ) 上均匀分布的随 机变量,N (t )为一般平稳过程,对于所有t 而言, ? 与 N (t ) 统计独立。
X (t ) ? A cos( ? 0t ? ?) ? N (t )

则易得出相关函数为
A2 RX (? ) ? cos? 0? ? RN (? ) 2

可见,相关函数也包含有与随机过程X(t)的周期 分量相同周期的周期分量。

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性质6

若平稳随机过程X(t)不含有任何周期分量, 则满足
? ??
? ??
2 lim RX (? ) ? RX (?) ? mX

lim K X (? ) ? K X (? ) ? 0

X (t )与 X (t ? ? ) 之 物理含义:当 ? 增大时, 间相关性会减弱,在 ? ?? 的极限情况下,两者相互独立。

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性质7 若平稳过程含有平均分量(均值) mX ,则相 2 m 关函数也含有固定分量 X , 即 2 RX (? ) ? K X (? ) ? mX 2 ? RX (0) ? RX (?) 若X(t)是非周期的,则 ? X
证:由协方差函数的定义,可得
2 K X (? ) ? E[( X (t ) ? mX )( X (t ? ? ) ? mX )] ? RX (? ) ? mX

2 由此 RX (? ) ? K X (? ) ? mX
2 ? ? R ( ) m 若X(t)是非周期,则有 X X

自相 关性 函数 确定 方差

2 且在t=0时,可得 ? X ? K X (0) ? RX (0) ? RX (?)

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性质8 平稳随机过程必须满足 ?-? RX (? )e? j?? d? ? 0 对所有 ? 均成立。
自相关函数的傅里叶变换是非负的,限制了 自相关函数曲线图形不能有任意形状,要求 相关函数是连续的(平顶,垂直边均是非连 续)即:不能出现平顶、垂直边或在幅度上 的任何不连续。

?

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R

R

X

(0 )

X

(? )

RX (0) ? ? ? m
2 X

2 X

?

2 X

m
0

2 X

?

平稳过程相关函数的典型曲线

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平稳过程的相关系数和相关时间
对于平稳随机过程X(t)的两个不同时刻t和t ?? 的起 伏值的关联程度,可以用自协方差
K X (? ) ? E[( X (t ) ? mX )( X (t ? ? ) ? mX )]
K X (? )还与 X (t ) ? mX 和 X (t ? ? ) ? mX 的强度有 表示。但是, 关,若 X (t ) ? mX 或 X (t ? ? ) ? mX 很小,即使两者的相关程 度较强,则K X (? )也不会太大,所以并不能准确表示关联 程度的大小。为了消除起伏值强度对 K X (? ) 的影响,需 要对协方差函数作归一化处理,引入相关系数。

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? 相关系数
2 K X (? ) RX (? ) ? m X rX (? ) ? ? 2 K X ( 0) ?X rX (? ) ? 1 此值在[-1,1]之间。 rX (? ) ? 0 表示不相关, 表示完全相关。 rX (? ) ? 0表示正相关,表明两个不同时刻

也称为归一 化协方差函 数或标准协 方差函数

起伏值(随机变量与均值之差)之间符号相同可能性大。
表征随机过 程在两个不 同时刻的状 态之间的统 计关联程度

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?相关时间

对于一般的随机过程而言,随着时间间隔 ? 增大相 关程度减弱,因此相关系数也随着减弱,当间隔大到一 定程度(假定为 ? 0),相关系数很小可以认为起伏值不 相关了,这个时间就称为相关时间。

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1 通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔 ? , 记做相关时间, 即: rX (? 0 ) ? 0.05 时的时间间隔 ? 0 为 相关时间。

2 有时我们用矩形(高为rX (0) ? 1 ,底为 ? 0 的矩形) 面积等于 rX (? ) 积分的一半来定义相关时间即

rX (? ) ?? 0 ? 1?? 0 ? ? 0 ? ? rX (? )d?
0

?

rX (? )
1

0.05

0

? ?0?0

?

相关时间示意图
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物理意义:
相关时间 ? 0越小,就意味着相关系数 rX (? ) 随 ? 增加而降落的 越快,这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之, ? 0 越大,则表时 随机过程随时间变化越慢。 相关时间越长,反映随机过程前后取值之间的依赖性越强,变 化越缓慢,相关时间越小,反映随机过程前后取值之间的依赖性越 弱,变化越缓慢。
4 2 0 -2 -4 0 50 100 10 5 0 -5 -10 0 50 100

?0 ?1

? 0 ? 100
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两个不同相关时间随机过程的样本函数
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例:已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 RX(t)=100e-10|t|+100cos10t+100 求X(t)的均值、均方值和方差。

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解: RX(t) =(100cos10t)+(100e-10|t|+100)= RX1(t)+ RX2(t)
RX1(t)=100cos10t 是 X(t

) 中周期分量的自相关函数, 此分量的均值mx1=0

RX2(t)=100e-10|t|+100是 X(t)的非周期分量的自相关函 数,由性质6可知,mX 2 ? ? RX 2 (?) ? ?10
所以有 mX ? m X 1 ? m X 2 ? ?10 E[ X 2 (t )] ? RX (0) ? 300
2 2 ?X ? RX (0) ? mX ? 300 ? 100 ? 200

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例:已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为

4 RX (? ) ? 36 ? 1 ? 5? 2 求X(t)的均值和方差。

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解:由性质6可知
2 mX ? RX (?) ? 36

mX ? ?6
由性质7可知
2 ?X ? RX (0) ? RX (?) ? 40 ? 36 ? 4

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例: 已知随机过程X(t)与Y(t)的协方差函数
sin ?? 1 ?2? ? KY (? ) ? K X (? ) ? e ?? 4 比较两个过程的起伏速度

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解: 由随机过程的协方差函数,得出X(t)、Y(t)的方差 2 2 ?X ? K X (0) ? 1/ 4 ? Y ? KY (0) ? 1 由定义得出X(t)、Y(t)的相关系数 K (? ) K (? ) sin ?? ?2 ? ? rX (? ) ? X ?e rY (? ) ? Y ? K X (0) KY (0) ?? X(t)、Y(t)的相关时间 ? ? 1 ? ? X ? ? rX (? )d? ? ? Y ? ? rY (? )d? ? 0 0 2? 2? 由于 ? X ? ? Y ,故过程X(t)比Y(t)起伏速度快。

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三 遍历(Ergodic)随机过程(各态历经性)
每当提及随机过程时,意味着要涉及大量的样本函 数的集合。要得到随机过程的统计特性,需要观察大量 的样本函数。数学期望、方差、相关函数等都是对大量 样本函数在特定时刻的取值利用统计方法求平均而得到 的数字特征。这种平均称为统计平均或集合平均。显然 ,取统计平均所需要的试验工作量很大,处理方法也很 复杂。这就使人们自然想到,根据平稳随机过程统计特 性与记时起点无关这个特点,能否找到更加简单的方法 代替上述的方法。 辛钦证明:在具备一定的条件下有平稳随机过程的 任意一个样本函数取时间平均(观察时间足够长),从 概率意义上趋近于该过程的统计平均值。这样的随机过 程,称具备各态历经性或遍历性。
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随机过程各态历经性可以理解为:随机过程的各样 本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态。因此 从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的 全部统计信息,任何一个样本函数的特性都可以充分地 代表整个随机过程的特性。

问题:随机过程 X (t ) 的各数字特征(集合平均),能 否用任一条样本函数的特征(时间平均)来代替。
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1 遍历性随机过程的定义
? 严(狭义)遍历性的定义

在相关理论的 范围内讨论历 经过程,即讨 论均值和自相 关时间平均


果一个随机过程X(t),它的各种时间平均(时间 足够长)依概率1收敛于相应的集合平均,则称X(t)具 有严格遍历性,并称它为严遍历过程。

? 宽(广义)遍历性的定义
设X(t)是一个平稳随机过程,如果其均值和相关函 数都具有各态历经性或遍历性,则称X(t)为宽遍历过程 ,或简称遍历过程。

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?均值各态历经性
定义 X (t ) ? lim 1
T ??

2T ?

T

?T

X (t )dt 为随机过程的时间平均值。

如果它依概率1收敛于集合均值,即
A( X (t )) ? X (t ) ? E[ X (t )] ? mX

则称平稳过程X(t)的均值具有遍历性。

与取哪条样 本有关与 时间无关
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是时间t的函 数,与取哪 条样本无关
44

1 E[ X (t )] ? lim T ?? 2T

?

T

?T

X (t )dt
均值各态历经

任何一条样本函数所包含的取值状态与随机过程(任 意时刻)所有的状态相同,而且出现的频率与随机过程各 状态的概率相同。

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?自相关函数各态历经性
1 定义 ? X (t , t ? ? ) ? X (t ) X (t ? ? ) ? lim T ?? 2T

?

T

?T

X (t ) X (t ? ? )dt

随机过程的时间自相关函数。

如果它依概率1收敛于集合均值,即
? X (t , t ? ? ) ? X (t ) X (t ? ? ) ? E[ X (t ) X (t ? ? )] ? RX (? )

则称平稳随机过程X(t)的自相关函数具有遍历性。
当且仅当? ? 0 时上式成立,则称X(t)的均方值具有 遍历性。
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1 RX (? ) ? lim T ?? 2T

?

T

?T

x(t ? ? ) x(t )dt

自相关函数 各态历经 任何一条样本函数都同样的经历了随机过程的各 种二阶可能状态。

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X (t )

X (t )

t

t

(a)

(b)

各态历经过程与非各态历经过程示意图

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2 遍历随机过程的实际应用
一般随机过程的时间平均是随机变量,但遍历过程 的时间平均为确定量,因此可用任一样本函数的时间平 均代替整个过程的统计平均,在实际工作中,时间T 不 可能无限长,只要足够长即可。

3 遍历随机过程和平稳随机过程的关系
遍历过程必须是平稳的,而平稳过程不一定是遍历的。

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4 遍历随机过程的意义
任何一个样本函数的特性都可以充分代表随机过程的 全部统计特性,简化研究过程和实际统计方法。 在实际应用中,如果随机过程是平稳的,要从理论上 证明过程的各态历经性并非易事。我们总是凭经验假设它 是各态历经的。 实际通信系统中,通常认为噪声和信号一般都是平稳 和各态历经的。

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5 遍历过程(各态历经性)的判别定理
? 均值遍历判别定理
平稳随机

过程X(t)的均值具有遍历性的充要条件:

? 1 2T lim ? (1 ? )[ RX (? ) ? m2 ]d? ? 0 X 0 T ?? T 2T

? 自相关函数遍历判别定理
平稳随机过程X(t)的自相关函数具有遍历性充要条件: 1 2T ?1 lim ? (1 ? )[ B(? 1 ) ? R 2 (? )]d? 1 ? 0 T ?? T 0 2T
X

式中: B(? 1 ) ? E[ X (t ? ? ? ? 1 ) X (t ? ? 1 ) X (t ? ? ) X (t )]
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6 对于正态平稳随机过程,若均值为零,自 相关函数 RX (? )连续,则可以证明此过程具 有遍历性的一个充分条件为:

?

?

0

RX (? ) d? ? ?

注意:判断一个平稳过程是否遍历,我们总是先假设其 是遍历的,然后看是否满足定义要求(即时间平 均以概率1等于统计平均),一般不用两个判别定 理。

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? 0 为常数, 设 X (t ) ? a cos(? t ? ?) ,式中a, ? 是在(0, 2? )上均匀分布的随机变量。 试问:X(t)是否平稳?是否遍历?
0



mX (t ) ? E[ X (t )] ? ? x(t ) ? f ? (? )d?
??

?

1 ? ? a cos(? 0t ? ? ) ? d? ? 0 ? mX 0 2? RX (t , t ? t ) ? E[ X (t ) X (t ? t )]
2?

a2 ? E[cos ? 0t ] ? cos(2? 0t ? ? 0t ? 2?)] 2 a2 ? cos ? 0t ? RX (t ) 2 a2 2 E[ X (t )] ? RX (t , t ) ? ?? 2

故X(t)是宽(广义)平稳随机过程。
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1 ? A ? X (t ) ?? X (t ) ? lim a cos(? 0t ? ?) dt ? T ?? 2T ?? a cos ? sin ? 0T ? lim ?0 T ?? ? 0T
? X (t , t ? ? ) ? X (t ) X (t ? ? ) a2 1 T ( cos ? 0tdt ) ??T 2 [cos(2? 0t ? ? 0t ? 2?)]dt ? Tlim ?? 2T ??T a2 a2 2T ? 0 ? lim cos ? 0t. ? cos ? 0t T ?? 2T 2 2 1 ? lim T ?? 2T
T

故平稳随机过程X(t)也是宽(广义)遍历随机过程。

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例 判断随机过程X(t)=Y的遍历性,其中Y是方
差不为零的随机变量。 解 明显可知X(t)是平稳的,因为

E[ X (t )] ? E[Y ]
E[ X (t ) X (t ? ? )] ? E[Y 2 ]
但X(t)不具有各态历经性,因为 1 T x(t ) ? lim ydt ? y ? ? T T ?? 2T 结论:一个随机变量一定不是各态历经的 并不是任何平稳过程都是各态历经的
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例 随机过程X(t)的均值和相关函数为
E[ X (t )] ? 0

RX (? ) ? e?|? |

讨论X(t)均值的遍历性。 解 X(t)是实平稳随机过程,由均值遍历判别定理可知
1 2T ? 2 ?? 2 1 e?2T ? 1 lim (1 ? )e d? 2 ? lim( ? )?0 2 T ?? 2T ?o T ?? 2T T 2T

所以X(t)具有均值各态历经性。

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补充:
(1)k阶严平稳

其它平稳的概念

f X ( x1 , x2 ,?, xN , t1 , t2 ,?, t N ) ? f X ( x1 , x2 ,?, xN , t1 ? c, t2 ? c,?, t N ? c)

for N?k k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那

么对N<k也成立. (2)渐近严平稳 当c??时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即

lim f X ( x1 , x2 ,? , xN , t1 ? c, t2 ? c,? , t N ? c)
c ??

存在,且与c无关.
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(3) 循环平稳
如果X(t)的分布函数满足如下关系
FX ( x1 ,?, xn , t1 ? MT ,?, t N ? MT ) ? FX ( x1 ,?, xN , t1 ?, t N )

其中M为整数,T为常数,则称X(t)为严格循环平稳 (或严格周期平稳) 注意: 严格循环平稳不一定严格平稳 (4)广义循环平稳 如果随机过程X(t)的均值和自相关函数满足下列关系
mX (t ? MT ) ? mX (t )

RX (t ? MT ? ?, t ? MT ) ? RX (t ? ?, t )
称X(t)为广义循环平稳.
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定理1:

设X(t)是严格循环平稳的,而随机变量?在区间(0,T) 上均匀分布,且X(t)与?统计独立,定义新的过程

X (t ) ? X (t ? ?)
则X(t)是严格平稳随机过程.

定理2:

设X(t)是广义循环平稳的,而随机变量?在区间(0,T) 上均匀分布,且X(t)与?统计独立,定义新的过程

X (t ) ? X (t ? ?)
则X(t)是广义平稳随机过程,且
1 T E[ X (t )] ? ? mX (t )dt T 0
1 T RX (?) ? ? RX (t ? ?, t )dt T 0
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三 : 严格平稳随机过程:严格平稳随机过程-简介

平稳随机过程_严格平稳随机过程 -简单介绍

如果1个随机过程的各有限维概率密度函数都不随时间平移而发生变化,则该随机过程为平稳随机过程

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